根號與胡桃派

同樣是上禮拜跟檸檬卷和 Poya 去玩的故事。

那天中午我們去 101 吃了 SALT&STONE，吃了什麼我早就忘了，我只記得最後我們點了一塊他們的招牌胡桃派。長得像是這樣，扇形的：

（SALT&STONE 漂亮的胡桃派）

問題來了：三個人，一塊派。要怎麼切才能讓三個人的面積剛好相等呢？

我當然知道，顯而易見的方法是每刀都從圓心（扇形尖端）出發，像切披薩一樣、放射狀地切到扇形的外圍，把外圍那段弧線平分成三等份就可以了。像這樣：

（數學課本的理想答案）

但可惜這是現實生活，不是數學題。這塊派很厚、很脆、很易碎、中間還塞滿堅果，如果硬要切成這麼細長的三條，一定全部都碎掉了。物理上比較合理的切法，一定是橫切。

但如果你就從這片派的長度目測三等份，在每三分之一和三分之二處各切一刀，很明顯地面積會超不相等，越靠外圍的越大塊：

（絕對行不通的目測法）

正當我還在思考該怎麼切的時候，有人已經出手了，不可逆的錯誤就這樣造成：

（啊，先不要⋯⋯）

沒關係，雖然這次失敗了，我們還是來把這個問題想清楚，這樣下次遇到同樣的情況，大家就知道要怎麼辦了：

首先，扇形「差不多」就是一個三角形，所以我們用三角形來算比較簡單。

從尖端量起，到某個高度 h 為止所圍出的小三角形，面積會跟「h 的平方」成正比（因為底邊寬度也會跟著 h 等比例變大）。假設整個大三角形（黑色）的高是 H，而小三角形（洋紅色）的高是 h，那小三角形的面積就是 (h/H)² 個大三角形。

（好像沒有想像中複雜耶？）

剩下的就是簡單的國中數學了：

• 我們想要第一刀切完，小三角形那塊佔總面積的三分之一，也就是 (h/H)² = 1/3。把 h 解出來，h 就是「三分之一的平方根」乘以 H，那大約是 0.577 H。
• 第二刀的位置，是要讓小三角形面積累積到三分之二。(h/H)² = 2/3，解 h，大約是 0.816 H。

結果結論出乎意料地簡單：你想要切出多大的面積比例，就把那個比例數字丟到根號裡，答案就出來啦！

所以橫切平分成三等份的下刀位置是 √⅓ 和 √⅔，也就是從尖端量起的 57.7% 和 81.6% 處！

（正解：57.7% 和 81.6% 處！）

為了讓你下次吃派時不用找計算機，我把二到六個人的橫切下刀位置都整理出來了。

（請截圖存在手機，誰知道什麼時候會用到？）

	第 1 刀	第 2 刀	第 3 刀	第 4 刀	第 5 刀
2 份	70.7%	-	-	-	-
3 份	57.7%	81.6%	-	-	-
4 份	50.0%	70.7%	86.6%	-	-
5 份	44.7%	63.2%	77.5%	89.4%	-
6 份	40.8%	57.7%	70.7%	81.6%	91.3%

順帶一提，雖然以上是用三角形算的，但扇形的下刀位置也一模一樣！差別只在於，在扇形上分割要完美，切的每一刀都需要有跟外圍一樣的弧度，面積才會準。（當然，如果派本來就很窄，切直線跟弧線其實差距不大啦）

至於那天那塊已經被攔腰斬斷的 SALT&STONE 胡桃派，我們當然是隨便分一分就把它吃掉了。超濃郁、熱量好高啊，我還是吃比較小的那塊好了。